SET - Ein mehrdimensionales
Kartenspiel (Kurzfassung)
Ein Spiel
In unserer Arbeit geht es um das Kartenspiel "SET!". Es besteht aus 81
Karten, auf denen Symbole abgebildet sind. Diese unterscheiden sich in
vier Eigenschaften: Anzahl, Farbe, Form und Füllung. Bei jeder Eigenschaft
gibt es drei verschiedene Zustände, die wir Varianten nennen. Das
Ziel des Spieles ist es, von zwölf ausliegenden Karten drei zu finden,
die in bezug auf alle vier Eigenschaften entweder alle gleich oder alle
verschieden sind - drei Karten, die ein Set bilden. Wenn es keine drei
Karten gibt, die ein Set bilden, werden drei Karten dazugelegt - jetzt
hat man 15 Karten ausliegen.
Ein Problem
Die Spielanleitung sagt aber nicht, was dann passiert: Ist jetzt immer
ein Set vorhanden oder muß man eventuell noch drei Karten dazulegen?
Mit dieser Frage haben wir uns beschäftigt. Wir konnten auch 18 und
sogar 20 Karten finden, in denen kein Set vorhanden ist. Die Frage war
nun aber, ob das maximal ist, oder ob es auch 21 oder noch mehr Karten
ohne Set gibt. Und was passiert, wenn es mehr oder weniger Eigenschaften
gibt? Oder wenn die Zahl der Varianten anders ist?
Ein Programm
Als erstes haben wir ein Computerprogramm geschrieben, das
alle Kartenkombinationen durchprobiert und so die Maximalzahl an Karten
ohne Set bestimmt. Beim normalen Set-Spiel dauert das aber sehr lange.
Die Frage war nun, ob man vielleicht einige Karten von vornherein festlegen
kann. Um die Frage zu beantworten, haben wir das Set-Spiel geometrisch
veranschaulicht.
Ein Würfel
Um die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Karten
besser darstellen zu können, stellen wir die Karten als Punkte in
einem vierdimensionalen Würfel dar. Bei einer anderen Anzahl von Eigenschaften
ergibt sich kein vierdimensionaler Würfel, sondern einer mit so vielen
Dimensionen, wie das Set-Spiel Eigenschaften hat. Für den so entstandenen
mehrdimensionalen Raum ergibt sich eine eigene Geometrie, die zahlreiche
Ähnlichkeiten zur normalen Geometrie aufweist. Die Sets entsprechen
dabei den Geraden, und es entstehen auch Ebenen und Hyperebenen. Auch Verschiebungen
und die Parallelität von Geraden und Ebenen konnten wir in diesem
Raum wiederfinden.
Mit Hilfe von Verschiebungen können wir nun zehn
Karten des Set-Spiels festlegen, so daß unser Programm die Maximalzahl
schon in weniger als 5 Minuten ausrechnen kann.
Viele Ergebnisse
So kann das Programm allerdings nur einzelne Spezialfälle
ausrechnen, wir wollten allgemeine Formeln aufstellen. Dazu haben wir uns
mit drei Varianten mathematisch auseinandergesetzt und konnten beweisen,
daß es bei n Eigenschaften, egal wie groß n ist, immer eine
Möglichkeit gibt, [(2n+2)/3]-1 Karten
auszuwählen, ohne daß ein Set entsteht. Die eckigen Klammern
bezeichnen dabei die Zahl ohne Nachkommastellen.
Auch für zwei und drei Eigenschaften konnten wir
Formeln finden: Bei zwei Eigenschaften und v Varianten kann man immer (v-1)2,
bei drei Eigenschaften und v Varianten immer (v-1)3+1 Karten
auswählen, ohne daß ein Set entsteht. Für zwei Eigenschaften
konnten wir sogar beweisen, daß es sich dabei um die Maximalzahl
handelt.
Alles verstanden?
Haben Sie noch Fragen? Wir sind für Sie da:
Wolf
Behrenhoff, Felix Krahmer und Andreas Sorge
Impressum, Datenschutz