Mit Hilfe des unter 5 beschriebenen Computerprogramms haben wir versucht,
die Frage, wie viele Karten man ohne Set höchstens auslegen kann,
für unterschiedliche Eigenschafts- und Variantenzahlen zu beantworten.
6.1 Trivial erschließbare Maximalzahlen
Für die Fälle v=1 und v=2 sowie n=1 lauten die Ergebnisse wie
folgt:
Bei v=1 (n beliebig) bildet jede Karte ein Set (siehe 2.6), es gibt ja
auch nur eine Karte, die Maximalzahl ist 0;
bei v=2 (n beliebig) bilden zwei Karten immer ein Set, da alle Eigenschaften
immer entweder gleich oder unterschiedlich sind, die Maximalzahl ist 1;
bei n=1 (v beliebig) existieren insgesamt v Karten, die sich alle in der
einzigen Eigenschaft unterscheiden. Deswegen können maximal v-1 (sogar
beliebige) Karten ausgewählt werden.
6.2 Die Maximalzahl für drei Eigenschaften und drei
Varianten
Läßt man das Programm ohne Vorgaben laufen, so ergibt sich als
Maximalzahl die Zahl 9. Dafür werden jedoch auf einem Pentium 100
ca. 7 Sekunden benötigt, weil alle Kombinationen durchprobiert werden.
Man erhält alle Lösungen, auch wenn man sie durch Verschieben
und Vertauschen ineinander überführen kann. Von solchen Lösungen
müßte allerdings nur eine erfaßt werden, denn von der
Kartenzahl sind sie gleich. Wir haben daher versucht, die Rechenzeit dadurch
zu verringern, daß wir uns das zunutze machen.
Da die Maximalzahl größer als fünf ist, liegen vier
Karten auf einer Ebene (siehe 4.1). Nach dem gleichen Prinzip wie unter
4.2 kann man also erreichen, daß in der ersten Ebene der geometrischen
Darstellung vier Karten liegen, davon drei an den Positionen X1,
X2 und X3 der Abbildung 6. Für die vierte Karte
gibt es nun drei mögliche Positionen: Sie liegt entweder in der Mitte,
unten in der Mitte oder rechts in der Mitte. Alle weiteren freien Felder
bilden Sets.
Liegt sie rechts in der Mitte, kann man die Ebene aus den drei mittleren
Reihe um 1 nach rechts und die Ebene aus den drei unteren Reihen um 1 nach
links verschieben; ist das Feld unten in der Mitte belegt, kann man die
Ebene aus den drei mittleren Spalten um 1 nach unten und die Ebene aus
den drei rechten Spalten um 1 nach oben verschieben. In beiden Fällen
ergibt sich die dritte Möglichkeit, bei der das 2x2 Quadrat links
oben in der Ecke belegt ist.
Da man nach diesem Prinzip jede Lösung mit mehr als fünf
Karten durch Verschieben und Vertauschen in eine Lösung überführen
kann, in der diese Karten belegt sind, darf man sie bei der Suche nach
der Maximalzahl festlegen. Tut man dies, so braucht das Programm weniger
als eine Sekunde und liefert 18 Lösungen. Diese Lösungen lassen
sich alle ineinander überführen, was wir im einzelnen jedoch
nicht darlegen wollen.
6.3 Die Maximalzahl für das normale Set-Spiel
David van Brink hat ebenfalls mit Hilfe eines Programms [3] versucht, die
Maximalzahl zu ermitteln. Sein Programm benötigt dafür eine Woche
Rechenzeit, obwohl es Lösungen in den dreidimensionalen Hyperebenen
vorberechnet und dabei gedrehte und gespiegelte Lösungen nicht betrachtet.
Auch mit unserem Programm dauert die Suche ohne Vorgaben sehr lange.
Nach ca. 3 Sekunden hat unser Programm allerdings eine Lösung mit
20 Karten gefunden. Würde es eine Lösung mit 21 oder mehr Karten
geben, so existiert laut 4.2 auch eine, bei der neun Karten in der oberen
Hyperebene (geometrische Darstellung in der Zeichenebene) liegen. Da man
bei drei Eigenschaften alle Lösungen mit neun Karten durch Verschieben
und Vertauschen ineinander überführen kann, kann man eine beliebige
Lösung in der oberen Hyperebene vorgeben.
Da nun aber auch in den unteren beiden Hyperebenen noch Karten liegen
und man mit jeder der Hyperebenen beliebige Verschiebeaktionen durchführen
kann, wenn man die andere Hyperebene nur in die entgegengesetzte Richtung
verschiebt, kann man nun auch immer eine Karte an die Position oben links
der ersten Ebene der mittleren Hyperebene verschieben. Diese Karte kann
daher auch immer belegt werden.
Mit diesen Vorgaben benötigt das Programm nur ca. 22 Sekunden, um
20 als Maximalzahl zu bestätigen. Eine Lösung mit mehr als 20
Karten, die nicht durch Verschieben und Vertauschen in eine Lösung
mit den genannten Eigenschaften überführt werden kann, gibt es
laut 4.2 nicht, und da diese beiden Operationen die Kartenzahl nicht verändern,
kann es allgemein keine Lösung mit mehr als 20 Karten geben, 20 ist
Maximalzahl.