4 Weitere Hilfssätze
4.1 Hilfssatz IV für drei Varianten
Liegen auf einer dreidimensionalen Hyperebene mindestens sechs Karten,
so existiert eine Ebene, auf der sich vier dieser Karten befinden.
Beweis durch Widerspruch:
Wir gehen davon aus, daß eine Kartenkombination mit sechs oder
mehr Karten existiert, in der auf keiner Ebene mehr als drei Karten liegen.
Durch Verschieben und Vertauschen können wir immer erreichen, daß
eine Karte auf dem Feld X1 liegt (siehe Abbildung 6). Da laut
Konstruktionsvorschrift in der Ebene A, die aus den drei linken Spalten
besteht, höchstens drei Karten liegen, muß auch in einer der
parallelen Ebenen ein Feld belegt sein, sonst hat man weniger als sechs
Karten ausgewählt. Sollte das nur bei der Ebene C, die aus den jeweils
rechten Spalten besteht, der Fall sein, kann man sie mit Ebene B, die aus
den jeweils mittleren Spalten besteht, austauschen. Man braucht daher nur
den Fall zu betrachten, daß in B mindestens eine Karte liegt. Nun
kann man B so verschieben, daß X3 von dieser Karte belegt
wird, ohne A zu bewegen: Man verschiebt C in die andere Richtung (siehe
3.5). Analog kann man erreichen, daß X2 belegt wird, ohne
die Ebene D, die aus den jeweils oberen Reihen besteht, zu beeinflussen.
Die Belegung von X4 können wir erreichen, indem wir ggf.
Ebene 2 und Ebene 3 austauschen, so daß in der Ebene 2 mindestens
zwei Karten enthalten sind. Das ist immer möglich, da in Ebene 1 bereits
drei belegt sind und die restlichen drei demnach auf die Ebenen 2 und 3
aufgeteilt werden müssen. Eine dieser beiden Karten läßt
sich durch Verschieben der Ebene 2 - Ebene 1 bleibt konstant, Ebene 3 wird
entgegengesetzt verschoben - auf die Position X4 abbilden.
Wir müssen also nur den Fall betrachten, daß X1,
X2, X3 und X4 wie in der Abbildung 6 belegt
werden.
|
A |
B |
C |
|
A |
B |
C |
|
A |
B |
C |
|
D
|
X1 |
X3 |
- |
D
|
X4 |
- |
- |
D
|
- |
- |
- |
|
X2 |
- |
- |
|
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
|
Ebene 1 |
|
Ebene 2 |
|
Ebene 3 |
Abbildung 6: Verteilung der Karten X1
- X4
"-" bedeutet, daß das jeweilige Feld nicht belegt werden darf,
da sonst eine Ebene mit insgesamt vier belegten Feldern oder ein Set vorliegen
würde. Die gesamte Ebene 1 muß ausgeschlossen werden, da bereits
die drei Karten X1, X2 und X3 in ihr liegen;
die Ebene A muß auch ausgeschlossen werden, da in ihr die Karten
X1, X2 und X4 belegt sind, und die Ebene
D muß ausgeschlossen werden, da in ihr die Karten X1,
X3 und X4 liegen. Weiterhin muß noch die Ebene
ausgeschlossen werden, auf der X2, X3 und X4
liegen (vgl. Abbildung 6). Von den verbleibenden Karten in Ebene 2 muß
genau eine ausgewählt werden, weil die beiden verbleibenden Karten
mit X4 sonst ein Set bilden würden, weil aber in Ebene
2 dennoch mindestens zwei Karten belegt sind.
Wählt man in Ebene 2 das mittlere Feld, so wird die rechte Spalte
in Ebene 3 ausgeschlossen, da in der mittleren Spalte in Ebene 2 und der
linken Spalte in Ebene 1 (diese bilden mit der genannten Spalte eine Ebene)
schon drei Karten belegt sind. Analog läßt sich für die
untere Reihe in Ebene 3 argumentieren - mit den bisher belegten Karten
sind die Ebenen 1, 2 und 3 jeweils an der Diagonalen von links oben nach
rechts unten symmetrisch. Belegt man das Feld unten rechts in Ebene 2,
so kann man den Fall in den eben genannten überführen, indem
man die Ebene 2 um 1 nach rechts und um 1 nach unten verschiebt; Ebene
3 verschiebt man entgegengesetzt.
Man kann also in keinem der beiden Fälle ein sechstes Feld belegen,
ohne daß vier Karten auf einer Ebene liegen oder ein Set entsteht.
Das steht aber im Widerspruch zu unserer Annahme, q.e.d.
4.2 Hilfssatz V für drei Eigenschaften und vier Varianten
Existiert hier eine Lösung, bei der mehr als 20 Karten ausgewählt
wurden, so existiert auch eine Lösung, in der in der geometrischen
Darstellung in der Ebene in der oberen dreidimensionalen Hyperebene neun
Karten liegen.
Beweis durch Widerspruch:
Wir gehen davon aus, daß eine Lösung mit mehr als 20 Karten
existiert, die mit den Operationen des Verschiebens und des Vertauschens
nicht in eine Lösung überführt werden kann, in der in der
ersten Reihe 9 Karten liegen.
Da insgesamt mehr als 20 Karten vorliegen, müssen in einer der
drei parallelen Hyperebenen in der geometrischen Darstellung als waagerechte
Reihen dargestellten dreidimensionalen Hyperebenen mehr als sechs Karten
liegen (Schubfachprinzip). Die Lage der Hyperebene kann nun so vertauscht
werden, daß sie in der obersten Reihe liegt. Jetzt existiert also
in dieser Reihe eine Ebene, auf der vier Karten liegen (vgl. 4.1).
Da auf dieser Ebene kein Set liegt, kann man drei der vier belegten
Karten also so verschieben, daß sie in der Ebene ganz oben links
liegen. Das Anordnungsprinzip hierzu wurde unter 4.1 dargestellt, als gezeigt
wurde, daß die Felder X1, X2 und X3
belegt werden können. Die vierte Karte liegt mit den ersten dreien
auf einer Ebene und deshalb nach der Verschiebung auch in der Ebene ganz
links oben. Zu drei Karten, die kein Set bilden, gibt es nämlich immer
nur eine Ebene, auf der alle drei Karten liegen, und das ist die Ebene
links oben.
Zwei Ebenen, die mit der Ebene links oben ein Set bilden, kann man
nun immer so verschieben, daß sie in der oberen Reihe liegen: Man
schiebt eine an die Position oben in der Mitte, die andere belegt nach
dem Verschieben automatisch die setbildende Position.
Auf keinen zwei Ebenen, die mit der Ebene links oben ein Set bilden,
dürfen also fünf oder mehr Karten liegen, sonst könnte man
mit Hilfe des Verschiebens und Vertauschens eine Konstellation erzeugen,
in den Ebenen ihrer oberen Reihe neun Karten liegen.
Es gibt nun vier Ebenenpaare, die mit der Ebene links oben ein Set
bilden, denn im zweidimensionalen Set-Spiel ist jede Karte in vier Sets
enthalten. Weitere Ebenen gibt es nicht (vgl. Abbildung 7). In jedem der
Ebenenpaare dürfen höchstens vier Karten liegen; zusammen mit
den vier Karten in der Ebene links oben sind also höchstens 20 Karten
belegt. Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, daß mehr als
20 Karten ausgewählt wurden.
| 4 |
b |
b |
| a |
c |
d |
| a |
d |
c |
Abbildung 7: Die mit vier Karten besetzte
Ebene "4" links oben bildet mit vier Ebenenpaaren (gleiche Buchstaben)
Sets.